مبرهنة الكاشي

مبرهنة الكاشي خاصة بهندسة المثلثات و هي تعميم لمبرهنة فيتاغورس في المثلثات التي ليست لها زاوية قائمة: و هي تربط الضلع الثالث لمثلث بالضلعين الآخرين و جيب تمام الزاوية المكونة لهما.
نعتبر مثلث ABC, حيث نستعمل المفاهيم الموجودة في الشكل1: من جهة α, β و γ بالنسبة للزوايا, و من جهة أخرى a, b و c بالنسبة للأضلاع. مبرهنة الكاشي هي:
.




فهرست

[[url=javascript:toggleToc()]إخفاء[/url]]

<LI class=toclevel-1>1 تاريخ
<LI class=toclevel-1>2 تطبيقات
<LI class=toclevel-1>3 البرهنة



• 3.1 بتقسيم المساحات
  
• 3.2 باستعمال نظرية فيتاغورس
  

//


تاريخ




في كتاب العناصر لإقليدس, نجد مقاربة هندسية لتعميم مبرهنة فيتاغورس: نجد في الكتاب2 العبارتين 12 و 13, حيث يتم التطرق لحالة مثلث عادي بزاوية منفرجة و في مثلث عادي بزوايا حادة. لكن عدم وجود الدوال المثلثية (آنذاك) و كذلك الجبر أدى إلى استعمال المساحات.
فالعبارة 12 : مربع الضلع الذي يحمل الزاوية المنفرجة أكبر من مربعي الضلعين الآخرين: و باستعمال المثلث ABC بزاوية منفرجة في A و ارتفاع H (شكل2) الصيغة تصبح: AB² = CA² + CB² + 2 CA CH.
و كان يجب انتظار العرب المسلمين لتظهر الدوال المثلثية لرؤية المبرهنة في تطورها: فالفلكي و الرياضي البتاني عمم نتيجة إقليدس في الهندسة الفضائية و التي مكنت من القيام بحساب المسافات بين النجوم. و في نفس الوقت تم إنشاء جداول للدوال المثلثية و التي أتاحت للكاشي صياغة المبرهنة في شكلها النهائي.

تطبيقات


مبرهنة الكاشي في تعميم لمبرهنة فيتاغورس, عندما تكون الزاوية :γ قائمة, أو عندما يكون: cosγ = 0, المبرهنة تصبح:,

و عكسيا.


النظرية تستعمل في المثلثات(انظر شكل. 3)حل مثلث,أي تحديد:

• الضلع الثالث لمثلث نعرف فيه زاوية و الضلعين المكونين لها:
  

;

• زوايا مثلث نعرف فيه الأضلاع:
  

.

البرهنة



بتقسيم المساحات


من بين طرق البرهنة حساب المساحات، حيث يتم ملاحظة ما يلي:

• a2, b2 و c2 هي مساحات لمربع أضلاعه على التوالي a, b و c
  
• ab | cosγ | و هو ل متوازي أضلاع من جهةa و b يكونان زاوية π / 2 − γ, تغيير إشارة: cosγ تصبح الزاوية γ devient منفرجة تجعل دراسة الحالات ضرورية.
  

الشكل 4أ (جانبه) يقسم سباعي بكيفيتين مختلفتين حيث تتم البرهنة في حالة زاوية حادة. يدخل هنا :

• بالوردي, lالمساحات a2, b2 في اليسار, و المساحات 2abcosγ و c2 في اليمين ;
  
• بالأزرق, المثلث ABC, في اليمين كما في اليسار ;
  
• بالرمادي, بعض المثلثات الإضافية, متطابقة مع المثلث ABC و بنفس العدد في التقسيمين.
  

تساوي المساحات في اليمين و اليسار يعطي

.




الشكل 4ب (جانبه) يقسم سداسي بكيفيتين مختلفتين بكيفية برهن في حالة زاوية منفرجة. الشكل يبين

• بالوردي, المساحات a2, b2 و − 2abcosγ في اليسار, و المساحات c2 في اليمين ;
  
• بالأزرق, مرتين المثلث ABC, في اليمين كما في اليسار.
  

تساوي المساحتين يمينا و يسارا يعطي

.

باستعمال نظرية فيتاغورس




الشكل 5 (جانبه) يبين طريقة البرهنة باستعمال مبرهنة فيتاغورس في مثلث قائم الزاوية ناتج عن طريق الارتفاع :

بنفس الطريقة نبرهن في حالة مثلث بزاوية منفرجة

شكرا جزيلا المرجو لا تبخل علينا

slt sara et merci bcp de tes message

meeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeerci beaucoup

مبرهنة الكاشي في تعميم لمبرهنة فيتاغورس, عندما تكون الزاوية :γ قائمة, أو عندما يكون: cosγ = 0
mais c la même chose!!
en tous cas merçi bcp